Математик из России доказал теорему, которую не могли решить 40 лет

Математик из России и его коллега из Израиля доказали многомерную версию "теоремы о дощечках", постулирующую, что круг можно полностью покрыть полосками, совокупная ширина которых будет составлять, как минимум, половину длины его самой большой окружности.

Доказательство было опубликовано в журнале Geometric and Functional Analysis.

"Задача Ласло Тота привлекала внимание математиков, занимающихся дискретной геометрией уже более 40 лет. У этой задачи оказалось изящное решение, и нам посчастливилось его найти. Она навела нас на мысль о другой, более сильной гипотезе о покрытии сферы смещёнными зонами, полученными пересечением единичной сферы с трёхмерными полосками-дощечками, не обязательно симметричными относительно центра", — рассказывает Александр Полянский, математик из Московского физтеха в Долгопрудном.

Эта теорема, как отмечает ученый, является важнейшей частью так называемой дискретной геометрии — особого раздела математики, который занимается изучением того, как соотносятся друг с другом различные геометрические фигуры. К примеру, она позволяет ответить на вопросы: какое наибольшее число шаров одинакового размера можно разместить вокруг одного такого же шара. Многие подобные задачи имеют важное практическое значение, так как они напрямую связаны со многими проблемами в IT, физике и химии.

Одной из главных задач, которую изучают представители этой области математики, является так называемая "теорема о дощечках", формулированная еще в начале 20 века. В самом простом виде она гласит, что круг любых размеров невозможно покрыть дощечками, чья общая ширина меньше диаметра самой окружности. Простые варианты этой задачи, как пишут Полянский и его коллега Цзылинь Цзян, были решены Альфредом Тарским и Трегером Бангом более 50 лет назад.

Более сложная версия этой теоремы была выдвинута в 1973 году венгерским математиком Лазло Тотом, который предположил, что сферическую поверхность любых размеров можно покрыть произвольным набором трехмерных "дощечек", чья общая толщина не превысит длину окружности.

Авторам статьи удалось не только решить задачу Тота, но и показать, что она будет работать и в многомерном пространстве, опираясь на идеи, которые использовал Трегер Банг для того, чтобы доказать первую многомерную версию "теоремы о дощечках".

Российский и израильский математики, как и Банг, шли в своем доказательстве от противного: они предположили, что суммарная ширина "дощечек", полностью покрывающих сферу, будет меньше длины окружности, и хотели получить противоречие в виде точки, которая лежала бы на сфере, но не была покрыта зонами.

Подобные противоречия были найдены, что доказало справедливость идей венгерского математика, изложенным более 40 лет назад. Как считают исследователи, их доказательство ускорит развитие дискретной геометрии и позволит сформулировать ряд новых математических и практических задач, связанных с "теоремой о дощечках".